Was ist die Binomialverteilung?
Die Binomialverteilung ist eine der wichtigsten diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilungen. Sie beschreibt die Anzahl der Erfolge bei n unabhängigen Versuchen, wenn jeder Versuch nur zwei Ausgänge haben kann (Erfolg oder Misserfolg).
Typische Anwendungen: Münzwürfe (Kopf/Zahl), Würfeln (Sechs/keine Sechs), Qualitätsprüfung (fehlerhaft/fehlerfrei), Multiple-Choice-Tests (richtig/falsch geraten).
Die Formel
Die Wahrscheinlichkeit für genau k Erfolge bei n Versuchen ist:P(X=k) = (n über k) × p^k × (1-p)^(n-k)
Dabei ist n = Anzahl der Versuche, k = Anzahl der Erfolge, p = Erfolgswahrscheinlichkeit,(n über k) = Binomialkoeffizient = n! / (k! × (n-k)!).
Erwartungswert und Varianz
Der Erwartungswert (durchschnittliche Anzahl Erfolge): μ = n × p. Bei 100 Münzwürfen erwarten wir durchschnittlich 100 × 0,5 = 50 Mal Kopf.
Die Varianz (Streuung): σ² = n × p × (1-p). DieStandardabweichung ist die Wurzel daraus: σ = √(n×p×(1-p)).
Kumulierte Wahrscheinlichkeit
P(X ≤ k) gibt die Wahrscheinlichkeit an, höchstens k Erfolge zu haben – die Summe aller Einzelwahrscheinlichkeiten von 0 bis k. P(X ≥ k) = 1 - P(X ≤ k-1) für mindestens k Erfolge.
Voraussetzungen
Die Binomialverteilung gilt nur wenn: Es gibt genau zwei Ausgänge (dichotom), die Erfolgswahrscheinlichkeit p ist konstant, die Versuche sind unabhängig voneinander, und die Anzahl n der Versuche ist fest.
Beispiel
Frage: Ein Würfel wird 10 Mal geworfen. Wie wahrscheinlich sind genau 2 Sechsen? Lösung:n=10, k=2, p=1/6. P(X=2) = (10 über 2) × (1/6)² × (5/6)⁸ = 45 × 0,0278 × 0,233 ≈ 0,291 = 29,1%.