Was ist eine Ableitung?
Die Ableitung einer Funktion f(x) beschreibt deren momentane Änderungsrate an jedem Punkt. Geometrisch entspricht sie der Steigung der Tangente an den Funktionsgraphen. Die Schreibweise ist f'(x), df/dx oder ∂f/∂x.
Beispiel: Bei f(x) = x² ist die Ableitung f'(x) = 2x. An der Stelle x = 3 beträgt die Steigung also f'(3) = 6. Das bedeutet: Wenn x um eine kleine Einheit wächst, wächst f(x) um etwa 6 Einheiten.
Die wichtigsten Ableitungsregeln
Potenzregel: Die fundamentalste Regel. Die Ableitung von x^n ist n·x^(n-1). Beispiel: x³ → 3x², x^(-2) → -2x^(-3).Konstantenregel: Die Ableitung einer Konstanten ist 0.
Summenregel: Die Ableitung einer Summe ist die Summe der Ableitungen: (f+g)' = f' + g'. Faktorregel: Konstante Faktoren bleiben erhalten: (c·f)' = c·f'.
Produktregel: (f·g)' = f'·g + f·g'. Beispiel: (x²·sin(x))' = 2x·sin(x) + x²·cos(x). Quotientenregel: (f/g)' = (f'·g - f·g')/g².
Kettenregel: Die wichtigste Regel für zusammengesetzte Funktionen. (f∘g)'(x) = f'(g(x))·g'(x). Beispiel: (sin(x²))' = cos(x²)·2x.
Wichtige Standardableitungen
Exponentialfunktionen: e^x → e^x (einzigartig!), a^x → a^x·ln(a).Logarithmen: ln(x) → 1/x, log_a(x) → 1/(x·ln(a)).
Trigonometrische Funktionen: sin(x) → cos(x), cos(x) → -sin(x), tan(x) → 1/cos²(x) = 1+tan²(x).
Wurzeln: √x = x^(1/2) → 1/(2√x). Brüche:1/x = x^(-1) → -1/x².
Anwendungen der Ableitung
Kurvendiskussion: Nullstellen von f'(x) zeigen Extremstellen, Nullstellen von f''(x) zeigen Wendepunkte. Das Vorzeichen von f'(x) gibt an, ob die Funktion steigt oder fällt.
Physik: Geschwindigkeit ist die Ableitung des Ortes nach der Zeit, Beschleunigung ist die Ableitung der Geschwindigkeit.Wirtschaft: Grenzkosten, Grenzerlös und Grenzgewinn sind Ableitungen der entsprechenden Gesamtfunktionen.
Tipps für die Berechnung
Umformen vor dem Ableiten: Oft lässt sich eine Funktion vereinfachen, bevor man ableitet. √x·x = x^(3/2) ist einfacher als die Produktregel anzuwenden. Reihenfolge beachten: Bei geschachtelten Funktionen von außen nach innen vorgehen (Kettenregel).