Fakultät Rechner

Was ist die Fakultät?

Die Fakultät einer nicht-negativen ganzen Zahl n, geschrieben alsn! (gesprochen: „n Fakultät"), ist das Produkt aller positiven ganzen Zahlen von 1 bis n.

n! = n × (n-1) × (n-2) × ... × 2 × 1

Fakultät-Werte

Rekursive Definition

0! = 1
n! = n × (n-1)!  für n > 0

Beispiel:
5! = 5 × 4!
   = 5 × 4 × 3!
   = 5 × 4 × 3 × 2!
   = 5 × 4 × 3 × 2 × 1!
   = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120

Anwendungen der Fakultät

Permutationen

n! gibt die Anzahl der Möglichkeiten an, n verschiedene Objekte anzuordnen.

Beispiel: 4 Bücher ins Regal stellen = 4! = 24 Möglichkeiten

Binomialkoeffizient

„n über k" – Anzahl der Möglichkeiten, k aus n Objekten auszuwählen:

(n über k) = n! / (k! × (n-k)!)

Kombinationen und Variationen

• Variation: n! / (n-k)! – k aus n mit Reihenfolge
• Kombination: n! / (k! × (n-k)!) – k aus n ohne Reihenfolge

Stirling-Approximation

Für große n kann die Fakultät approximiert werden:

n! ≈ √(2πn) × (n/e)ⁿ

Fakultät in Programmiersprachen

// JavaScript (rekursiv)
function factorial(n) {
  return n <= 1 ? 1 : n * factorial(n - 1);
}

// Python
import math
math.factorial(5)  # 120

Häufig gestellte Fragen

Warum wächst die Fakultät so schnell?

Die Fakultät wächst schneller als exponentiell. Während 2¹⁰ = 1.024 ist, beträgt 10! bereits 3.628.800. Bei 100! hat das Ergebnis 158 Stellen!

Gibt es Fakultäten für negative Zahlen?

Die klassische Fakultät ist nur für nicht-negative ganze Zahlen definiert. Die Gamma-Funktion erweitert das Konzept: Γ(n+1) = n! für n ≥ 0.

Was ist die Doppelfakultät?

n!! multipliziert nur jede zweite Zahl: 7!! = 7 × 5 × 3 × 1 = 105, und 8!! = 8 × 6 × 4 × 2 = 384.