Was ist der Satz des Pythagoras?
Der Satz des Pythagoras ist einer der fundamentalsten Sätze der Mathematik. Er beschreibt die Beziehung zwischen den drei Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks: Die Summe der Quadrate der beiden Katheten ist gleich dem Quadrat der Hypotenuse.
Die Formel: a² + b² = c². Dabei sind aund b die Katheten (die Seiten am rechten Winkel) undc die Hypotenuse (die längste Seite, gegenüber dem rechten Winkel).
Die umgestellten Formeln
Hypotenuse berechnen: c = √(a² + b²). Wenn du beide Katheten kennst, ziehe die Wurzel aus der Summe ihrer Quadrate.
Kathete berechnen: a = √(c² - b²) oder b = √(c² - a²). Wenn du Hypotenuse und eine Kathete kennst, ziehe die Wurzel aus der Differenz der Quadrate.
Beispielrechnung
Gegeben: Kathete a = 3 cm, Kathete b = 4 cm.Gesucht: Hypotenuse c. Lösung:c = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5 cm.
Das 3-4-5-Dreieck ist das bekannteste pythagoreische Tripel. Weitere ganzzahlige Tripel: 5-12-13, 8-15-17, 7-24-25.
Anwendungen im Alltag
Diagonale berechnen: Die Bildschirmdiagonale eines 16:9-Monitors mit 40 cm Breite und 22,5 cm Höhe: √(40² + 22,5²) = √(1600 + 506) ≈ 45,9 cm (18 Zoll).
Entfernungen messen: Wie weit ist die Spitze einer 5m hohen Leiter von der Wand entfernt, wenn sie 4m an der Wand hochreicht? Abstand = √(5² - 4²) = √9 = 3m.
Wann gilt der Satz?
Der Satz des Pythagoras gilt nur für rechtwinklige Dreiecke. Er kann auch umgekehrt verwendet werden: Wenn a² + b² = c² gilt, dann ist das Dreieck rechtwinklig. Das nutzen Handwerker beim Ausmessen rechter Winkel (3-4-5-Methode).
Geschichte
Der Satz ist nach dem griechischen Mathematiker Pythagoras(ca. 570-495 v. Chr.) benannt. Die Babylonier kannten den Zusammenhang jedoch schon 1000 Jahre früher. Pythagoras oder seine Schule lieferten vermutlich den ersten mathematischen Beweis.
Hinweis
Achte darauf, dass die Hypotenuse immer die längste Seiteist. Wenn dein Ergebnis für eine Kathete größer als die Hypotenuse wäre, hast du die Werte vertauscht oder einen Rechenfehler gemacht.