Determinante Rechner

Was ist eine Determinante?

Die Determinante (det) ist ein Skalarwert, der jeder quadratischen Matrix zugeordnet wird. Sie hat wichtige Anwendungen in der linearen Algebra: Lösbarkeit von Gleichungssystemen, Invertierbarkeit von Matrizen und geometrische Interpretationen.

Determinante einer 2x2 Matrix

Für eine Matrix A = [[a, b], [c, d]]:

det(A) = a·d - b·c

Beispiel:

A = | 3  2 |
    | 1  4 |

det(A) = 3·4 - 2·1 = 12 - 2 = 10

Determinante einer 3x3 Matrix

Regel von Sarrus (nur für 3x3):

A = | a  b  c |
    | d  e  f |
    | g  h  i |

det(A) = aei + bfg + cdh - ceg - bdi - afh

Merkhilfe: Diagonalen von links oben nach rechts unten addieren, Diagonalen von rechts oben nach links unten subtrahieren.

Laplace-Entwicklung

Für größere Matrizen (4x4 und mehr) verwendet man den Laplace-Entwicklungssatz. Die Determinante wird nach einer Zeile oder Spalte entwickelt:

det(A) = Σ aᵢⱼ · (-1)^(i+j) · det(Aᵢⱼ)

Wobei Aᵢⱼ die Untermatrix ohne Zeile i und Spalte j ist.

Eigenschaften der Determinante

• det(AB) = det(A) · det(B)
• det(A⁻¹) = 1/det(A)
• det(Aᵀ) = det(A) (Transponierte)
• det(cA) = cⁿ · det(A) (c Skalar, n Dimension)
• Vertauschen zweier Zeilen ändert das Vorzeichen
• Zwei gleiche Zeilen → det = 0
• det(Einheitsmatrix) = 1

Geometrische Interpretation

Die Determinante beschreibt, wie eine lineare Abbildung Flächen (2D) oder Volumina (3D) verändert:

• |det| > 1: Fläche/Volumen wird vergrößert
• |det| < 1: Fläche/Volumen wird verkleinert
• det < 0: Orientierung wird gespiegelt
• det = 0: Dimensionsreduktion (Fläche wird zur Linie)

Anwendungen

• Lineare Gleichungssysteme: Cramersche Regel
• Invertierbarkeit: Matrix invertierbar ⟺ det ≠ 0
• Eigenwerte: det(A - λI) = 0
• Flächen- und Volumenberechnung: Parallelogramm, Spat
• Orientierung: Rechts- vs. Linkssystem

Häufig gestellte Fragen

Warum nur quadratische Matrizen?

Die Determinante ist nur für quadratische Matrizen (n×n) definiert. Rechteckige Matrizen haben keine Determinante, da die geometrische Interpretation (Volumenänderung) sonst nicht funktioniert.

Was bedeutet det = 0?

Die Matrix ist singulär (nicht invertierbar). Die Spalten/Zeilen sind linear abhängig. Das zugehörige Gleichungssystem hat keine eindeutige Lösung.

Wie berechnet man große Determinanten effizient?

Für große Matrizen nutzt man LU-Zerlegung oderGauß-Elimination. Die Determinante ist dann das Produkt der Diagonalelemente (ggf. mit Vorzeichenkorrektur).