Was ist der Betrag eines Vektors?
Der Betrag (auch Norm oder Länge) eines Vektors misst seine Größe unabhängig von der Richtung. Er wird mit |→v| oder ‖→v‖ notiert und ist immer positiv oder null.
Geometrisch entspricht der Betrag der Entfernung vom Ursprung (0,0) zum Endpunkt des Vektors – also der „Pfeilänge".
Formel für den Vektorbetrag
2D-Vektor (x, y)
|→v| = √(x² + y²)
Beispiel: →v = (3, 4) → |→v| = √(9 + 16) = √25 = 5
3D-Vektor (x, y, z)
|→v| = √(x² + y² + z²)
Beispiel: →v = (2, 3, 6) → |→v| = √(4 + 9 + 36) = √49 = 7
n-dimensionaler Vektor
|→v| = √(v₁² + v₂² + ... + vₙ²)
Herleitung: Satz des Pythagoras
Die Formel basiert auf dem Satz des Pythagoras. In 2D: Der Vektor bildet mit seinen Komponenten ein rechtwinkliges Dreieck. Die Hypotenuse ist der Betrag: c² = a² + b².
In 3D wendet man den Satz zweimal an: erst in der xy-Ebene, dann für die z-Komponente.
Einheitsvektor berechnen
Ein Einheitsvektor hat den Betrag 1 und zeigt in die gleiche Richtung wie der Originalvektor. Berechnung durch Normierung:
→e = →v / |→v|
Beispiel: →v = (3, 4), |→v| = 5 → →e = (3/5, 4/5) = (0,6, 0,8)
Eigenschaften des Betrags
- Nicht-Negativität: |→v| ≥ 0
- Nullvektor: |→v| = 0 genau dann, wenn →v = →0
- Skalierung: |λ · →v| = |λ| · |→v|
- Dreiecksungleichung: |→a + →b| ≤ |→a| + |→b|
- Skalarprodukt: |→v|² = →v · →v
Anwendungen
- Physik: Geschwindigkeit, Kraft, Beschleunigung (Betrag = Stärke)
- Geometrie: Abstände, Flächenberechnungen
- Computergrafik: Kollisionserkennung, Lichtstärke
- Navigation: Entfernungen zwischen Koordinaten
Häufig gestellte Fragen
Was ist der Unterschied zwischen Betrag und Skalarprodukt?
Der Betrag ist eine Eigenschaft eines einzelnen Vektors (seine Länge). Das Skalarprodukt verbindet zwei Vektoren zu einer Zahl. Es gilt: |→v|² = →v · →v (Skalarprodukt mit sich selbst).
Kann der Betrag negativ sein?
Nein, der Betrag ist per Definition immer ≥ 0. Selbst wenn alle Komponenten negativ sind, werden sie quadriert – das Ergebnis ist positiv.
Wie berechne ich die Entfernung zwischen zwei Punkten?
Bilden Sie den Verbindungsvektor: →v = P₂ - P₁ = (x₂-x₁, y₂-y₁, z₂-z₁). Der Betrag dieses Vektors ist die Entfernung.