Potenzen verstehen und berechnen
Eine Potenz besteht aus einer Basis und einem Exponenten (Hochzahl). Die Schreibweise x^n bedeutet: Die Basis x wird n-mal mit sich selbst multipliziert. Beispiel: 2⁴ = 2 × 2 × 2 × 2 = 16. Die Basis (2) wird viermal multipliziert.
Wichtige Sonderfälle: Jede Zahl hoch 0 ergibt 1 (x⁰ = 1). Jede Zahl hoch 1 ergibt sich selbst (x¹ = x). Negative Exponenten bedeuten Kehrwerte: x⁻ⁿ = 1/xⁿ. Also ist 2⁻³ = 1/8.
Die Potenzgesetze
Multiplikation gleicher Basis: x^a × x^b = x^(a+b). Beispiel: 2³ × 2⁴ = 2⁷ = 128. Division gleicher Basis:x^a ÷ x^b = x^(a-b). Beispiel: 2⁵ ÷ 2² = 2³ = 8.
Potenz einer Potenz: (x^a)^b = x^(a×b). Beispiel: (2³)² = 2⁶ = 64. Potenz eines Produkts:(x × y)^n = x^n × y^n. Beispiel: (2 × 3)² = 4 × 9 = 36.
Wurzeln als Umkehrung der Potenz
Die n-te Wurzel von y sucht die Zahl x, die n-mal mit sich selbst multipliziert y ergibt. Schreibweise: ⁿ√y = x bedeutet x^n = y. Die Quadratwurzel (√) ist die 2. Wurzel, die Kubikwurzel (∛) die 3. Wurzel.
Wurzeln können auch als Potenz geschrieben werden: √x = x^(1/2), ∛x = x^(1/3), ⁿ√x = x^(1/n). Das ermöglicht die Anwendung der Potenzgesetze.
Logarithmus – die dritte Verknüpfung
Der Logarithmus beantwortet: „Mit welcher Hochzahl muss ich die Basis potenzieren, um einen Wert zu erhalten?" log_b(y) = x bedeutet b^x = y. Beispiel: log₂(8) = 3, weil 2³ = 8.
Wichtige Logarithmen: Der natürliche Logarithmus (ln) hat die Basis e ≈ 2,718 und ist in der Mathematik zentral. Derdekadische Logarithmus (lg oder log₁₀) hat die Basis 10 und wird in der Praxis oft verwendet. Der binäre Logarithmus(ld oder log₂) ist in der Informatik wichtig.