Eigenwert Rechner

Was sind Eigenwerte und Eigenvektoren?

Ein Eigenwert λ einer quadratischen Matrix A ist eine Zahl, für die es einen Vektor v ≠ 0 gibt mit A·v = λ·v. Der Vektor v heißt Eigenvektor zum Eigenwert λ.

Geometrisch bedeutet dies: Multipliziert man die Matrix mit dem Eigenvektor, ändert sich nur die Länge des Vektors (Skalierung um λ), nicht seine Richtung.

Berechnung der Eigenwerte

Eigenwerte werden über das charakteristische Polynom bestimmt:

det(A - λI) = 0

Dabei ist I die Einheitsmatrix. Die Nullstellen dieses Polynoms sind die Eigenwerte.

Eigenwerte einer 2x2 Matrix

Für Matrix A = [[a, b], [c, d]]:

det(A - λI) = det([[a-λ, b], [c, d-λ]])
            = (a-λ)(d-λ) - bc
            = λ² - (a+d)λ + (ad-bc)
            = λ² - Spur(A)·λ + det(A) = 0

Lösung mit Mitternachtsformel:

λ = (Spur ± √(Spur² - 4·det)) / 2

Wichtige Eigenschaften

• Summe der Eigenwerte = Spur(A) (Summe der Diagonalelemente)
• Produkt der Eigenwerte = det(A)
• Eine n×n Matrix hat genau n Eigenwerte (mit Vielfachheit gezählt)
• Eigenwerte können reell oder komplex sein
• Symmetrische Matrizen haben nur reelle Eigenwerte

Komplexe Eigenwerte

Wenn die Diskriminante negativ ist (Spur² - 4·det < 0), entstehen komplexe konjugierte Eigenwerte: λ = a ± bi.

Bei einer 2x2-Rotationsmatrix zum Beispiel sind die Eigenwerte cos(θ) ± i·sin(θ), was die Drehung ohne Streckung widerspiegelt.

Eigenvektoren berechnen

Für jeden Eigenwert λ berechnet man die Eigenvektoren durch Lösen von:

(A - λI)·v = 0

Der Lösungsraum (Eigenraum) enthält alle Eigenvektoren zum Eigenwert λ.

Anwendungen von Eigenwerten

• Hauptkomponentenanalyse (PCA): Dimensionsreduktion in Machine Learning
• Google PageRank: Bewertung von Webseiten über Eigenvektoren
• Quantenmechanik: Energie-Eigenwerte in Schrödinger-Gleichung
• Schwingungsanalyse: Eigenfrequenzen mechanischer Systeme
• Stabilitätsanalyse: Stabilität dynamischer Systeme
• Bildkompression: Eigenwert-basierte Komprimierung
• Markov-Ketten: Stationäre Verteilungen

Spezielle Matrizen

• Diagonalmatrix: Eigenwerte = Diagonalelemente
• Dreiecksmatrix: Eigenwerte = Diagonalelemente
• Symmetrische Matrix: Nur reelle Eigenwerte
• Orthogonale Matrix: Eigenwerte mit |λ| = 1
• Einheitsmatrix: Alle Eigenwerte = 1

Häufig gestellte Fragen

Kann eine Matrix mehrfache Eigenwerte haben?

Ja, Eigenwerte können mit algebraischer Vielfachheit auftreten. Die Einheitsmatrix hat z.B. nur den Eigenwert 1, aber mit Vielfachheit n (für n×n).

Wann ist eine Matrix diagonalisierbar?

Eine Matrix ist diagonalisierbar, wenn sie n linear unabhängige Eigenvektoren hat. Dies ist der Fall, wenn alle Eigenwerte verschieden sind oder wenn für jeden Eigenwert algebraische = geometrische Vielfachheit gilt.

Was sagen komplexe Eigenwerte aus?

Komplexe Eigenwerte deuten auf Rotationsverhalten hin. Der Imaginärteil bestimmt die Rotationsgeschwindigkeit, der Realteil den Streckungsfaktor.