Lineare Gleichungen lösen
Eine lineare Gleichung hat die Form ax + b = c, wobei x die gesuchte Variable ist und a, b, c bekannte Zahlen sind. Das Wort "linear" bedeutet, dass x nur in der ersten Potenz vorkommt – es gibt kein x², x³ oder höhere Potenzen.
Die Lösung erfolgt durch schrittweises Umformen: Zuerst wird b auf beiden Seiten subtrahiert (ax = c - b), dann wird durch a geteilt (x = (c-b)/a). Das Grundprinzip: Was du auf einer Seite der Gleichung tust, musst du auch auf der anderen Seite tun, damit die Gleichung im Gleichgewicht bleibt.
Quadratische Gleichungen mit der Mitternachtsformel
Bei quadratischen Gleichungen der Form ax² + bx + c = 0 kommt x in der zweiten Potenz vor. Die universelle Lösung liefert die Mitternachtsformel (auch abc-Formel genannt):
x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a
Das ± bedeutet, dass du zwei Rechnungen durchführst: einmal mit Plus, einmal mit Minus. So erhältst du bis zu zwei Lösungen. Ein Beispiel: Für 2x² + 4x - 6 = 0 (a=2, b=4, c=-6) ergibt sich x₁ = 1 und x₂ = -3.
Die Diskriminante verstehen
Der Ausdruck D = b² - 4ac unter der Wurzel heißt Diskriminante. Sie verrät dir, wie viele Lösungen die Gleichung hat, noch bevor du sie komplett ausrechnest:
D > 0 (positiv): Die Gleichung hat zwei verschiedene reelle Lösungen. Die Parabel schneidet die x-Achse an zwei Punkten.
D = 0: Die Gleichung hat genau eine Lösung (doppelte Nullstelle). Die Parabel berührt die x-Achse in einem Punkt.
D < 0 (negativ): Die Gleichung hat keine reellen Lösungen. Die Parabel schwebt über oder unter der x-Achse, ohne sie zu berühren.
Alternative: Die pq-Formel
In deutschen Schulen wird oft die pq-Formel gelehrt. Sie gilt für die Normalform x² + px + q = 0, bei der vor dem x² keine Zahl steht (bzw. a=1):
x = -p/2 ± √((p/2)² - q)
Falls deine Gleichung nicht in Normalform ist, teile zuerst alle Terme durch a. Aus 2x² + 4x - 6 = 0 wird dann x² + 2x - 3 = 0 (mit p=2 und q=-3).
Tipps für das Lösen von Gleichungen
Probe machen: Setze deine Lösung in die ursprüngliche Gleichung ein. Wenn beide Seiten gleich sind, ist die Lösung korrekt. Das ist besonders bei Prüfungen eine gute Kontrolle.
Vorzeichen beachten: Der häufigste Fehler beim Lösen von Gleichungen sind Vorzeichenfehler. Achte besonders beim Subtrahieren negativer Zahlen und beim Teilen durch negative Zahlen.
Sonderfälle erkennen: Manchmal lassen sich quadratische Gleichungen einfacher lösen: x² = 9 hat die Lösung x = ±3. Bei x² + 2x = 0 kann man x ausklammern: x(x+2) = 0, also x₁ = 0 und x₂ = -2.