Was ist das Kreuzprodukt?
Das Kreuzprodukt (auch Vektorprodukt oder äußeres Produkt) zweier Vektoren →a und →b ergibt einen neuen Vektor →c, der senkrecht auf beiden Ausgangsvektoren steht. Es ist nur im dreidimensionalen Raum definiert.
Notation: →a × →b (gesprochen: „a kreuz b")
Formel für das Kreuzprodukt
Für →a = (a₁, a₂, a₃) und →b = (b₁, b₂, b₃):
a × b = ( a₂·b₃ - a₃·b₂ )
( a₃·b₁ - a₁·b₃ )
( a₁·b₂ - a₂·b₁ )Beispielrechnung
→a = (2, 3, 4) und →b = (5, 6, 7)
x: 3·7 - 4·6 = 21 - 24 = -3 y: 4·5 - 2·7 = 20 - 14 = 6 z: 2·6 - 3·5 = 12 - 15 = -3 a × b = (-3, 6, -3)
Eigenschaften
- Antikommutativ: →a × →b = -(→b × →a)
- Distributiv: →a × (→b + →c) = →a × →b + →a × →c
- Nicht assoziativ: (→a × →b) × →c ≠ →a × (→b × →c)
- Orthogonal: (→a × →b) ⊥ →a und (→a × →b) ⊥ →b
Betrag des Kreuzprodukts
Der Betrag entspricht der Fläche des Parallelogramms, das von den beiden Vektoren aufgespannt wird:
|→a × →b| = |→a| · |→b| · sin(θ)
Rechte-Hand-Regel
Die Richtung des Kreuzprodukts folgt der Rechte-Hand-Regel: Zeigt der Zeigefinger in Richtung →a und der Mittelfinger in Richtung →b, zeigt der Daumen in Richtung →a × →b.
Anwendungen
- Flächenberechnung: Dreieck = ½ · |→a × →b|
- Normalenvektor: Senkrechte auf einer Ebene
- Physik: Drehmoment →τ = →r × →F
- Physik: Lorentzkraft →F = q(→v × →B)
- 3D-Grafik: Oberflächennormalen für Beleuchtung
Kreuzprodukt vs. Skalarprodukt
| Eigenschaft | Skalarprodukt | Kreuzprodukt |
|---|---|---|
| Ergebnis | Skalar (Zahl) | Vektor |
| Notation | →a · →b | →a × →b |
| = 0 wenn | Senkrecht | Parallel |
| Dimension | Beliebig | Nur 3D |
Häufig gestellte Fragen
Warum funktioniert das Kreuzprodukt nur in 3D?
In 2D gibt es keine eindeutige „senkrechte Richtung" zu zwei Vektoren in der Ebene. Nur in 3D ist die Senkrechte (bis auf Vorzeichen) eindeutig.
Was wenn das Kreuzprodukt null ist?
→a × →b = →0 bedeutet, dass die Vektoren parallel sind, also in die gleiche oder entgegengesetzte Richtung zeigen.
Wie berechne ich das Volumen eines Spats?
Das Spatprodukt: V = |→a · (→b × →c)|. Erst Kreuzprodukt von →b und →c, dann Skalarprodukt mit →a, dann Betrag.